§8.7空间向量的坐标表示、运算及应用1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组____________，使得_______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．2．空间直角坐标系(1)如果空间的一个基底的三个基向量____________，且长都为______，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示(其中＝＝＝1)．(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：__________________________，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(3)建系时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，建立____手直角坐标系．(4)在空间直角坐标系中有一点A，若OA＝xi＋yj＋zk，则有序实数组____________叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________．其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的________．3．空间向量的直角坐标运算设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，则(1)向量加法：a＋b＝__________________．(2)向量减法：a－b＝__________________．(3)数乘：λa＝________________．(4)数量积：a·b＝________________．(5)平行：a∥b(b≠0)⇔_________⇔x1＝λx2，________，__________．(6)垂直：a⊥b⇔__________⇔_______________．(7)向量a的模＝_________＝___________．(8)向量a与b夹角公式：cos〈a，b〉＝＝____________．(9)点坐标和向量坐标：若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝____________________，线段AB的长度dAB＝＝______________________________．4．直线的方向向量(1)与直线l__________的非零向量a叫做直线l的方向向量．(2)空间中任意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定．设点P是l上的任意一点，则l有向量表示形式____________，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式．注意同一条直线的点向式表示不唯一．5．平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量已知平面α，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则________叫做平面α的法向量．(2)平面的法向量的求法①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有______个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．6．利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则(1)线线平行：l∥m⇔__________⇔___________．(2)线线垂直：l⊥m⇔__________⇔__________．(3)线面平行：l∥α⇔__________⇔____________．(4)线面垂直，方法一：l⊥α⇔__________⇔__________；方法二：若e1，e2为平面α的一组基底，则l⊥α⇔⇔a·e1＝a·e2＝0.(5)面面平行：α∥β⇔__________⇔__________．(6)面面垂直：α⊥β⇔_________⇔__________．(7)线线夹角：l，m的夹角为θ，cosθ＝．(8)线面夹角：l，α的夹角为θ，sinθ＝．(9)面面夹角：α，β的夹角为θ，cosθ＝．注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0≤θ≤，而二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围为____________，若设u，v的夹角为φ，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)，二面角的大小为θ＝π－φ，cosθ＝cos(π－φ)＝－cosφ＝－；当u，v一个指向二面角内，另一个指向二面角外时(如图2)，二面角的大小为θ＝φ，cosθ＝cosφ＝.7．距离(1)点到直线的距离设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝______________(如图3)．图3图4(2)点到平面的距离设P为平面α内的一点，n为平面α的法向...
