高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数例题与探究 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

1.2任意角的三角函数典题精讲例1已知sinα=t且|t|＜1,求角α的余弦值和正切值.思路分析:在已知角的某一三角函数值的情况下，利用三角函数基本关系式,可以对其他三角函数进行求解，但是要注意进行分类讨论.解:∵sinα=t且|t|＜1,∴角α可能为四个象限和x轴上的轴线角.①当α为第一、四象限或x轴非负半轴上的角时,有cosα==,tanα==.②当α为第二、三象限或x轴非正半轴上的角时,有cosα=-=-,tanα==-.绿色通道：若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.变式训练（2006重庆高考卷，文13）已知sinα=，≤α≤π,则tanα=________________.思路解析：由sinα=,≤α≤πcosα=，所以tanα=-2.答案：-2例2y=的定义域是___________.思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域和分式函数的定义域即可求解.要使函数有意义必须使tanx有意义且tanx≠0.∴(k∈Z).∴函数y=的定义域为{x|x≠,k∈Z}.答案：{x|x≠,k∈Z}黑色陷阱：解答本题，往往容易忽视tanx本身有意义这个条件，只考虑到tanx作为分母不能为0.变式训练求函数y=+tanx的定义域为______________________.思路解析：由得∴2kπ≤x≤(2k+1)π且x≠2kπ+(k∈Z).答案：［2kπ,2kπ+）∪（2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z)例3已知tanα=2,则(1)=______________________；（2）=________________.思路分析:题中给出的已知是某角的正切值，所求的是含有正弦和余弦的分数式，可以利用三角函数基本关系式进行适当变形，然后利用已知求解.解:(1)∵cosα≠0，∴分子分母同除cosα，得=.(2)∵cos2α≠0，∴分子分母同除cos2α得.答案：（1）-1（2）绿色通道：这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点:(1)一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cosα≠0,所以可用cosnα(n∈N*)除之.这样可以将所求式化为关于tana的表达式,可整体代入tana=m的值,求解.变式训练已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ,求cos2α.思路分析：本题中只给出了α、β的正弦和正切关系，要求α余弦的平方，显然应该考虑平方之间的关系，依此考虑则可得出解题的方法，在解答过程中还要注意灵活变形.解：由题设，知sinα=2sinβsin2α=4sin2β,①tanα=3tanβtan2α=9tan2β.②①÷②,得9cos2α=4cos2β.③①+③,得sin2α+9cos2α=41-cos2α+9cos2α=4.∴cos2α=38.问题探究问题1你能找到三角函数值在各个象限的符号记忆规律吗?导思：三角函数的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值，根据三角函数的定义可知：正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切当x、y同号时为正，异号时为负.探究：方法一:利用口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,也可简写为“全,S、T、C”来记忆.上述口诀表示:第一象限全是正值,第二象限正弦(S)是正值,第三象限正切(T)是正值,第四象限余弦(C)是正值.至于正割、余割和余切函数值在各象限的符号,只需记住它们与余弦、正弦、正切在各象限内的符号相同就可以了.方法二:利用图1-2-3记忆,口诀在图下方:图1-2-3问题2如何用sinα表示cosα、tanα、cotα.导思：首先对角α按象限角和轴线角详细分类，然后才能用sinα表示cosα、tanα、cotα的值.探究：见下表(k∈Z).函数cosα]tanαcotα2kπ10不存在(2kπ,2kπ+)2kπ+0不存在0（2kπ+π2,2kπ+π）--2kπ+π-10不存在（2kπ+π,2kπ+）--2kπ+0不存在0（2kπ+,2kπ+2π）