§3.1导数的概念及运算1．导数的概念(1)定义如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作或y′，即f′(x0)＝＝.(2)导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim.(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法①求函数的增量Δy＝；②求平均变化率＝；③取极限，得导数f′(x0)＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝(c为常数)，(xα)′＝(α∈Q*)；(2)(sinx)′＝____________，(cosx)′＝____________；(3)(lnx)′＝____________，(logax)′＝____________；(4)(ex)′＝____________，(ax)′＝____________.4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝____________.(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导f′(x0)(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)②2．f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．(1)0αxα－1(2)cosx－sinx(3)(4)exaxlna4．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)(3)5．yx′＝y′u·u′x()已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为()A．1B．2C．3D．4解：f′(x)＝a＝a(lnx＋1)，∴f′(1)＝a＝3.故选C.()函数y＝xex在其极值点处的切线方程为()A．y＝exB．y＝(1＋e)xC．y＝D．y＝－解：记y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－.故函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.故选D.()若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是()A．(－ln2，2)B.C.D．(0，1)解：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．故选A.物体的运动方程是s＝－t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为．解：v(t)＝s′(t)＝－t2＋4t，t＝3时，v＝3，故填3.()已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解：y＝x＋lnx，y′＝1＋，y′|x＝1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立得ax2＋ax＋2＝0，当a≠0时，Δ＝a2－8a＝0，得a＝8；当a＝0时，曲线为y＝2x＋1，与切线y＝2x－1平行，与已知矛盾，因此，a＝8.故填8.类型一导数的概念用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数．解法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋Δx2，所以＝lim＝lim[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2，所以＝＝Δx＝0.故f′(x)|x＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再化简平均变化率，最后判断当Δx→0时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第ts时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4(单位：m)．(1)求航天飞机在第1s内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1s末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1s内的平均速度为＝＝80m/s.(2)航天飞机第1s末高度的平均变化率为＝＝＝5Δt2＋45Δt＋120，当Δt→0时，5Δt2＋45Δt＋120→120，所以航天飞...
