江苏省高三数学专题复习 中档题满分练（4）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

中档题满分练(四)1．设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin的值．2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；(2)求证：PD∥平面EAC.3．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点分别为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0，1)．(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．14．某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)＝(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)中档题满分练(四)1．解(1)因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝.又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝.(2)法一因为a∥b，所以tanθ＝2.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝.法二因为a∥b，所以tanθ＝2.又θ为锐角，所以sinθ＝，cosθ＝.因此sin2θ＝2sinθcosθ＝，2cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝.2．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD.又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD.在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.连接BD，交AC于点M，连接EM，则＝＝2.在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC.3．解(1)因为e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程＋y2＝1知，A(0，1)，B(0，－1)，所以kBM·kAN＝·＝，又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为3(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．4．解(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(2)设月利润为h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)＝h′(x)＝∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6＜x＜7时，h′(x)＜0，∴n(x)在[1，6]上单调递增，在(6，7)上单调递减，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12090，∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12090元．4