广东饶平二中高三数学高考一轮复习：不等式的证明VIP免费

（四）不等式的证明一、知识归纳1．证明不等式的常用方法：（1）比较法①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系（2）分析法：从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件代替前面的不等式，可简称为“执果索因”。（3）综合法：由已知条件出发，根据不等式的基本性质或基本不等式，逐步推理，推导出要求证的不等式。在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用。几个重要不等式：①当a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）②当a，b∈R时，（当且仅当a=b时等号成立）③当ab>0时，（当且仅当a=b时等号成立）④当a，b∈R+时，（当且仅当a=b时等号成立）等价变形：⑤当a，b，c∈R时，2．不等式证明的其他方法：反证法，放缩法，数学归纳法，判别式法，构造法等。二、例题分析：例1已知a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc例2．已知，且，求证：例3．（1）已知，且求证：（2）已知是互不相等的正数，设函数，且求证：例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求证中至少有一个小于2.三、练习题：（一）、选择题1．若b<0b+dD．a-c>b-d2．对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④3．已知则有A．B．C．D．4．,那么“”是“”的A．充要条件B．必要但不充分条件C．充分但不必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列选项一定成立的是A．ab＞acB．c(b－a)＜0C．cb2＜ab2D．ac(a－c)＞06．已知下列不等式：①；②；③其中正确的个数为：A．0B．1C．2D．37．设a＞0,b＞0，则以下不等式中不恒成立的是A．≥4B．≥C．≥D．≥8．已知abRababababab、，则，，，22222中最大的为A．B．C．D．（二）、填空题9．abm00，，则的大小关系为_________________。10．已知0<2a<1,若A=1+a2,B=,则A与B的大小关系是___.11．若<0,已知下列不等式:①a+b|b|③a2,其中正确的不等式的序号为.（三）、解答题：12．已知，求证：13．设请按照从小到大的顺序排列（写出比较过程）.14．求证15．已知a、b、c不全相等的正数，求证：16．已知a>b>c，求证：≥17．设，求证：不可能同时大于18．设（b，c为实数），方程的两个实数根为，且满足。（1）求证：（2）设，求证：>.（四）不等式证明参考答案例1已知a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc证法1：比较法a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc=a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c=b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2a，b，cR+且(a-c)20，(b-c)20，(a-b)20}b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)20从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc证法2：分析法要证a2b+ab2a2c+ac2+b2c+bc26abca，b，cR+，故只要证明而，，即证原不等式成立证法3：综合法a，b，cR+，，即证原不等式成立例2．已知，且，求证：分析1：依绝对值的性质，只需证明，可用综合法。证明1：又，同理则即证明2：分析法：要证，只需证即，两边展开即只需证即故原不等式成立。例3．（1）已知，且求证：（2）已知是互不相等的正数，设函数，且求证：证明：（1）分析法：由得且故原不等式成立。（2）由，且，得又是互不相等的正数，故，由，得又，则有得，所以有成立。例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求证中至少有一个小于2.证明：（反证法）假设且，，，，则于是，这与题设x+y＞2矛盾。故命题成立。三、练习题：（一）、选择题1．C．2．D．3．A．4．C．5．A．6．C．7．B．8．C．（二）、填空题9．_<<1___10．Ab>c，求证：≥证明：17．设，求证：不可能同时大于证明：（反证法）假设同时大于则，，故但，，即故命题成立。18．设（b，c为实数），方程的两个实数根为，且满足。（1）求证：（2）设，求证：>.（1）证明：由，得，，（2）证明：（比较法）：是方程的根，则，又，则故，