高考小题分项练13推理与证明1．在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”．请判断一下，第四个人是老实人吗？________.(请用“是”或“否”作答)答案是解析依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎，因说别人是骗子的都是不诚实的，所以依据题设中的规则第四个人说的是真话，即第四个人是老实人，所以应填是．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．①方程x2＋ax＋b＝0没有实根；②方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根；③方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根；④方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根．答案①解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2＋ax＋b＝0没有实根．3．观察下列规律|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．答案80解析观察可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an＝4n，则所求为第20项，所以a20＝80.4．n＝表示一个三位数，记f(n)＝(a＋b＋c)＋(a×b＋b×c＋a×c)＋a×b×c，如f(123)＝(1＋2＋3)＋(1×2＋2×3＋1×3)＋1×2×3＝23，则满足f(n)＝n的三位数共有______个．答案9解析因为a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝100a＋10b＋c，所以(ab＋a＋b)(c＋1)＝10(10a＋b)⇒c＋1＝10，ab＋a＋b＝10a＋b⇒b＝9，a取1到9，共9个．5．对于任意正整数n，定义“n！！”如下：当n是偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)·…·6·4·2，当n是奇数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)·…·5·3·1，且有n！＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1.现有四个命题：①2016！！·2015！！＝2016！；②2016！！＝21008×1008！；③2015！！的个位数字是5；④2014！！的个位数字是0.其中正确的命题有________个．答案4解析根据题意，依次分析四个命题可得：对于①，2016！！·2015！！＝(2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014·2016)·(1·3·5·7·…·2009·2011·2013·2015)＝1·2·3·4·5·…·2012·2013·2014·2015·2016＝2016！，故①正确；对于②，2016！！＝2·4·6·8·10·…·2008·2010·2012·2014·2016＝21008(1·2·3·4·…·1008)＝21008·1008！，故②正确；对于③，2015！！＝2015×2013×2011×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故③正确；对于④，2014！！＝2·4·6·8·…·2008·2010·2012·2014，其中含有10，故个位数字为0，故④正确．6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝______.答案解析由已知，a2＝3＝3×(2－1)，a3＝6＝3×(3－1)，a4＝9＝3×(4－1)，a5＝12＝3×(5－1)，…，an＝3(n－1)，数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为an＝3(n－1)(n≥2)．所以＝＝(－)，则＋＋＋…＋＝9××(1－＋－＋…＋－)＝1－＝.7.已知数列{an}是正项等差数列，若cn＝，则数列{cn}也为等差数列．已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得__________．①若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列；②若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列；③若{dn}满足dn＝[b1·(2b2)·(3b3)·…·(nbn)]，则{dn}也是等比数列；④若{dn}满足dn＝[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列．答案④解析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若{dn}满足dn＝[b1·b·b·…·b]，则{dn}也是等比数列...
