§12.4直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论__________)，经过__________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．自查自纠1．(1)推理论证成立由因导果(2)结论充分条件结论执果索因2．不成立不成立正确的推理矛盾错误()设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤B．ab<1
2x>0，所以b＝1＋x>＝a，所以aa＋b，则实数a，b应满足的条件是()A．a>b>0B．abD．a≥0，b≥0，且a≠b解： (a＋b)－(a＋b)＝(a－b)(－)>0，∴a≥0，b≥0，且a≠b.故选D.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.命题“a，b是实数，若＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明时应假设____________．解：a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1，或b≠－1.故填a≠－1，或b≠－1.类型一直接证明已知a，b，c∈R＋，求证：≥.证明一：采用分析法．要证≥，只需证：≥，只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以≥成立(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．证明二：采用综合法． a，b，c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴≥(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．【点拨】分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”．常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：＋≤2.证明：要证＋≤2，只需证a＋＋b＋＋2≤4，又a＋b＝1，故只需证≤1，只需证＝ab＋(a＋b)＋≤1，只需证ab≤. a>0，b>0，1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立(当且仅当a＝b＝时取等号)．类型二间接证明在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a，b，c三边的倒数成等差数列．求证：∠B<.证明：若a，b，c的倒数成等差数列，则＋＝.假设B≥，从而∠B是△ABC的最大角，根据“大角对大边”得b>a，b>c.所以>，>，相加得＋>，这与＋＝矛盾，所以假设不成立．因此∠B<.【点拨】一般地，对于结论是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾，与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．()设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成...
