§5.5复数的概念1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．①当________时，复数a＋bi为实数；②当________时，复数a＋bi为虚数；③当________且________时，复数a＋bi为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔________，特别地，a＋bi＝0⇔________.4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．6．复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或.即＝＝r＝________(r≥0，r∈R)．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N)→_______→_______→_______→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．自查自纠1．－1运算律2．实部虚部①b＝0②b≠0③a＝0b≠03．a＝c且b＝da＝b＝04．一一对应5．实数原点纯虚数6.7．共轭复数8．整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)()若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅解：A＝{i，－1，－i，1}，∴A∩B＝{1，－1}．故选C.()设x∈R，i是虚数单位，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由纯虚数的定义可得解得x＝1.故选C.方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i解：当Δ<0时，方程有虚数根，根据求根公式x＝，得x＝＝－3±2i，所以方程的一个根为－3＋2i.故选A.()i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0且1－2a≠0，解得a＝－2.故填－2.已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则＝________．解：z＝9＋6i－1＝8＋6i，＝＝10.故填10.类型一复数的有关概念及性质下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；(4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小．(2)若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R.(3)当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．(4)只有当x，y∈R时命题才正确．(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.【点拨】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0.下列命题中：①若z1－z2＞0，则z1＞z2；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③z＋z＝0⇔z为纯虚数；④z＝z⇔z∈R.正确的命题是______．解：①中若z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z2与z1不能比较大小；②中的z1＝i，z2＝1也可以满足条件；③中的z＝0满足z＋z＝0，但z为实数．故填④.类型二复平面的概念及复数的几何意义已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解： A，B是锐角三角形的两内角，∴A＋B＞，且0＜A<，0
