推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)2.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案(1)3,1,6(2)793.设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.【详细分析】(1)当a=时,f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2
0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3,因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·>0则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二直接证明与间接证明4.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]答案A5.已知函数f(x)=ex,x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点;(3)设a0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.解法二: ex>0,x2+x+1>0,∴曲线y=ex与y=x2+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,设φ(x)=,则φ(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又φ'(x)==≤0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上单调递减,∴φ(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.(3)-f=-==[--(b-a)].设函数u(x)=ex--2x(x≥0),则u'(x)=ex+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴u(x)单调递增.当x>0时,u(x)>u(0)=0.令x=,则得--(b-a)>0,∴>f.6.如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1
