江苏省南京市2016-2017学年高一数学5月月考试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）1、在△ABC中，若，则角B的大小为2、已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x=4、函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为5、一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为6、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为9、若x、y都是正实数且满足x+3y=1，则的最大值是11、已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若上有两个点到的距离相等，则；④若，则其中正确命题的序号是12、已知等比数列的各项均为正数，且设，求数列的前n项和为13、已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=14、在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＋＝1，则＝二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15、（本题满分14分）16、（本题满分14分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足17、（本题满分14分）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.OPABCDE18、（本题满分14分）设数列的前项和为,,且对任意正整数点直线上.(1)求数列的通项公式;(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,则说明理由.19、（本题满分16分）某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？20、（本题满分16分）（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．参考答案一、填空题1、2、3、3974、5、636、﹣，7、8、9、10、[0,1)11、②④12、13、．14、3二、解答题15、(1)(2)16、解：（1）由正弦定理得，又有，……2分即，…4分又，所以．……6分(2)17、(1)连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分因为PB平面EAC，OE平面EAC，所以直线PB∥平面EAC．……………………6分(2)因为PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以PA⊥CD．…………………8分因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分因为PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD．…………12分因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．…………………14分18、解：（1）由题意可得：①∴当≥2时，②……2分①－②得：，有（≥2）又，，有，……4分OPABCDE∴是首项为1，公比为的等比数列，从而……6分（2）由（1）知：，……8分若数列为等差数列，则有：…10分解之得：……12分当时，令=（）有……14分所以存在实数，使得数列{}为等差数列。……16分19、解：（1）由题意，宽为cm，S=（2x+90）（+40）=80x++7200≥2+7200=14400．（当且仅当80x=，即x=45时，等号成立）；∵，∴30≤x≤60，∴当x=45时，操作台面面积最小；此时操作台面长与宽分别为180cm，80cm．（2）由题意，≤x-14，解得，x≥50；∴50≤x≤60，∵函数S=（2x+90）（+40）在[50，60]上单调递增，∴当x=50时，操作台面面积最小，最小值为14440cm2，此时，操作台面长为190cm，宽为76cm．20、解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴2，化为：，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x-1=0，若a=0，化为x-1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或-．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴-≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，∴．∴a的取值范围是．
