第六节双曲线1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．注意：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2015·福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3解析：由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.答案：B3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.又－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴所求渐近线方程为y＝±x.答案：C4．(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析： e＝＝，F2(5，0)，∴c＝5，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1.答案：C5．(2015·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，∴焦距2c＝2，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.答案：2y＝±x两条规律1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.两种方法求双曲线标准方程的方法1．定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程．2．待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点，则设为＋＝1(mn<0)．两点注意1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0，1)．一、选择题1．“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：方程－＝1表示双曲线，则(m－8)·(m－10)>0，解得m<8或m>10.故“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．(2015·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1解析：A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±x；C中的渐近线方程为y＝±x；D中的渐近线方程为y＝±x.答案：A3．(2015·湖南卷)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.又b2＝c2－a2，∴＝，即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.答案：D4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由题意，c＝＝5，∴a2＋b2＝c2＝25.①又双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝.②则由①②解得a＝3，b＝4，∴双曲线方程为－＝1.答案：A5．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A．2B．2C．4D．4解析： e＝2，∴＝2.设焦点F2(c，0)到渐近线y＝x的距离为，渐近线方程为bx－ay＝0，∴＝. c2＝a2＋b2，∴b...
