高考数学大一轮复习 第六章 数列 4 第4讲 数列求和新题培优练 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第4讲数列求和[基础题组练]1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为()A．380－B．400－C．420－D．440－解析：选C.令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.2．(2019·辽宁本溪三校联考)已知数列{an}的通项公式是an＝n2sinπ，则a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝()A.B.C.D.解析：选B.由题意得a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝－12＋22－32＋43＋…－20172＋20182＝1＋2＋3＋4＋…＋2017＋2018＝＝，故选B.3．(2019·江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝()A.B.C.D.解析：选C.由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以＋＋…＋＝(－＋－…－＋－)＝＝.4．(2019·河北“五个一名校联盟”(二))已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝()A．3B．2C．1D．0解析：选A.因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2018＝336×0＋a2017＋a2018＝a1＋a2＝3.故选A.5．等比数列{an}中，若a1＝27，a9＝，q>0，Sn是其前n项和，则S6＝________．解析：由a1＝27，a9＝知，＝27·q8，又由q>0，解得q＝，所以S6＝＝.答案：6．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝__________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，即解得所以Sn＝，因此＝2＝.答案：7．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝.(1)求证：数列{}是等差数列；(2)若bn＝an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)因为an＋1＝，所以＝，所以－＝，所以数列{}是等差数列．(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以bn＝＝4×(－)，Sn＝4×[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4×(－)＝.8．(2019·四川广安毕业班诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求满足不等式Tn≥的最小正整数n.解：(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)，得an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝＝2，所以Tn＝2[＋＋…＋]＝2＝.令≥，解得n≥19，所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.[综合题组练]1．(2019·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A．1026B．1025C．1024D．1023解析：选C.因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－，所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.故选C.2．(2019·江西省五校协作体试题)设Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，则＋＋…＋＝()A.B.C.D.解析：选D.因为an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D.3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则S2n－1＝________．解析：因为a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝.答案：4．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2018项的和等于________．解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2018项的和等于S2018＝1009×＝.答案：5．(2019·潍坊市统一考试)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．(1)证明数列{an}为等比数列，并求an；(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.解：(1)因为Sn＝2an－λ，当n＝1时，得a1＝λ，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－λ，所以Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以λ为首项，2...