高考数学一轮总复习 2.11变化率与导数、导数的计算练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第十一节变化率与导数、导数的计算时间：45分钟分值：100分一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案C2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.B.C.D.解析 s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.答案D3．(2014·大纲全国卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1解析 y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，选C.答案C4．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.B.C.D.解析由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是，故选B.答案B5．(2014·重庆七校联盟联考)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是()A．2B．1C．3D．－2解析由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导，得f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8⇒f′(1)＝2，∴k＝2.答案A6．已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A.B．(0，－4)C．(2,3)D.解析由题，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.答案D二、填空题7．若曲线y＝x2＋x－的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________．解析设切点为(x0，y0)，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x0＋1,3x0＋1＝4⇒x0＝1.又y0＝x＋x0－＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y－2＝4(x－1)⇒y＝4x－2.答案y＝4x－28．(2014·陕西五校联考)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为________．解析点(1,3)既在直线y＝kx＋1上，也在曲线y＝x3＋ax＋b上，代入解得k＝2，a＋b＝2，又y′|x＝1＝2，∴3＋a＝2，解得a＝－1.∴b＝3.答案39．已知函数f(x)＝xn＋1(n∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，若函数f(x)的图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．解析f′(x)＝(n＋1)xn，∴f′(1)＝n＋1.又P(1,1)，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝1－＝，∴x1x2x3…x2013＝··…＝.∴log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013＝log2014x1x2x3…x2013＝log2014＝－1.答案－1三、解答题10．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)．故其斜率可表示为＝.又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×＝－.∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值．(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.(2) 曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0.∴a≠－.∴a的取值范围是∪.1．设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为()解析 f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)为奇函数且当0