高考数学 热点题型和提分秘籍 专题26 不等式的性质与一元二次不等式 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题26不等式的性质与一元二次不等式理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．【热点题型】题型一不等式的性质及应用【例1】若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】【提分秘籍】判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．【举一反三】(1)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()A.＞B．a2＜abC.＜D．an＞bn(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】(1)C(2)D【解析】题型二一元二次不等式的解法【例2】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.B.C.D.【答案】A【解析】法一由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a＞0，所以不等式的解集为(－2a，4a)．又不等式的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a.从而x2－x1＝6a＝15，解得a＝.法二由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝，故选A.【提分秘籍】含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【举一反三】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．题型三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．【解析】(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则所以－4＜m≤0.(2)要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一因为x2－x＋1＝＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可．所以，m的取值范围是.【提分秘籍】(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【举一反三】已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解析】因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立．即当x≥1时，a＞－(x2＋2x)恒成立．设g(x)＝－(x2＋2x)，而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a＞－3.所以，实数a的取值范围是{a|a＞－3}．【高考风向标】1.【2015高考山东，理5】不等式的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;【解析】（I）得：,解（II）得：,解（III）得：,所以，原不等式的解集为.故选A.2.【2015高考...