§8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量．(2)零向量：规定______________的向量叫做零向量．(3)单位向量：________的向量称为单位向量．(4)相反向量：与向量a__________________的向量，称为a的相反向量，记为－a.(5)相等向量：________________的向量称为相等向量．(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a＋b＝________；(a＋b)＋c＝______________．2．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘．①当λ____0时，λa与向量a方向相同；当λ____0时，λa与向量a方向相反．②λa的长度是向量a的长度的______倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝____________．②结合律：λ(μa)＝________．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(4)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b，a∥b的充要条件是_________________．(5)空间直线l的方向向量：和直线l________的非零向量a叫做直线l的方向向量．(6)空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是_____________________，特别地，如果a＝AB，则上式可以化为OP＝OA＋tAB，或__________________，这也是空间三点A，B，P共线的充要条件．(7)共面向量：________________的向量叫做共面向量．(8)空间共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________．推论：对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式__________________________，其中__________，则点P与点A，B，C共面．3．空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b，通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量a，b，a⊥b⇔______________．(2)空间零向量与任何向量的数量积为______．(3)a·a＝cos〈a，a〉＝______．(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：①·b＝__________；②a·b＝__________(交换律)；③a·＝________________(分配律)．自查自纠1．(1)大小方向(2)长度为0(3)模为1(4)长度相等而方向相反(5)方向相同且模相等(6)b＋aa＋(b＋c)2．(1)①＞＜②(2)①λa＋λb②a(3)互相平行或重合(4)存在实数λ，使a＝λb(5)平行(6)存在实数t，使OP＝OA＋taOP＝OA＋tOB(7)平行于同一个平面(8)存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋ybOP＝xOA＋yOB＋zOCx＋y＋z＝13．(1)cos〈a，b〉a·b＝0(2)0(3)2(4)①λ②b·a③a·b＋a·c在长方体ABCDA1B1C1D1中，BA＋BC＋DD1＝()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1解：BA＋BC＋DD1＝CD＋BC＋DD1＝BD＋DD1＝BD1，故选D.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列式子中与B1M相等的是()A．－a＋b＋cB.a＋b－cC．－a＋b－cD．－a－b＋c解：B1M＝B1B＋BM＝－c＋BD＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c，故选C.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A．0B.C.D.解：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.故选A.如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝__________(用a，b，c表示)．解：OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.故填a＋b＋c.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．解：①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb不成立，②错误；③正确；④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不成立，④错误．故填①③.类型一空间向量的运算如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E为A...
