第八章平面解析几何8.7抛物线练习理[A组·基础达标练]1．[2016·皖北联考]若抛物线y2＝mx的焦点是双曲线x2－＝1的一个焦点，则正数m等于()A．1B．2C．4D．8答案D解析易求得双曲线x2－＝1的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)，因为m>0，所以＝2，m＝8，故选D.2．[2016·河南模拟]抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是()A．2B．4C.D.答案C解析由抛物线的方程y＝4x2可化为x2＝y，知p＝，所以焦点到准线的距离d＝－＝p＝.3．[2016·石家庄调研]若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x答案C解析抛物线y2＝2px，准线为x＝－，点P(2，y0)到其准线的距离为4.有＝4，p＝4，抛物线的标准方程为y2＝8x.4．[2016·德州模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝()A．1B.C．2D．3答案B解析双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的离心率为2，所以＝2，＝.由解得或由曲线的对称性及△ABC的面积得，2×××＝，解得p2＝，p＝.故选B.5．[2015·郑州一模]已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．x＝－2答案C解析由题意可设直线方程为y＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得y2＋2py－p2＝0，∴y1＋y2＝－2p. 线段AB的中点的纵坐标为－2，∴＝－2.∴p＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－1.6．[2016·江西上饶模拟]过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则FA·FB＋FC·FD的最大值等于()A．－4B．－161C．4D．－8答案B解析依题意可得，FA·FB＝－(|FA|·|FB|)．又因为|FA|＝yA＋1，|FB|＝yB＋1，所以FA·FB＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.所以FA·FB＝－(4k2＋4)．同理|FC|·|FD|＝－.所以FA·FB＋FC·FD＝－≤－16.当且仅当k＝±1时等号成立．7．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．答案2x＝－1解析根据抛物线定义可得＝1，则p＝2，准线方程为x＝－1.8．[2015·福州模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．答案－y2＝1解析抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，e＝＝，a＝3，b＝1.所以该双曲线的标准方程为－y2＝1.9．[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由题意可知机器人行进的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.10．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．解设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.又x1＋x2＝，x1x2＝4，∴|AB|＝＝＝3，∴5＝45，∴a＝4或a＝－36.故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.[B组·能力提升练]1．[2014·四川高考]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.2答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y1>0，y2<0)，直线AB的方程为x＝ty＋m，且直线AB与x轴的交点为M(m,0)．由消去x，得y2－ty－m＝0，所以y1y2＝－m.又OA·OB＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2＝－2，故m＝2.又F，于是S△ABO＋S△AFO＝×2×(y1－y2)＋××y1＝y1＋≥2＝3，当且...
