高考数学一轮复习 4.4平面向量、复数的综合性问题课时作业 理 湘教版-湘教版高三全册数学试题VIP免费

2016届高考数学一轮复习4.4平面向量、复数的综合性问题课时作业理湘教版一、选择题1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,－4),且a⊥c,b//c,则|a+b|=（）A．B．C．2D．10【解析】由a⊥ca·c=02x－4=0x=2,由b//c－4=2yy=－2,故|a+b|==．【答案】B2.△ABC中,AB边上的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2，则=（）A．a－bB．a－bC．a－bD．a－b【解析】由a·b=0可得∠ACB=90°,故AB=5，用等面积法求得CD=，所以AD=，故==(－)=a－b．【答案】D3.已知O为坐标原点，A点的坐标为(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝OA·OP的最大值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】作可行域如图，z＝OA·OP＝x＋2y，显然在B(0，1)处zmax＝2.故选D.1【答案】D4.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为“若OP＝x0e1＋y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)”．若F1(－1，0)，F2(1，0)，且动点M(x，y)满足|MF1|＝|MF2|，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为()A．x－y＝0B．x＋y＝0C.x－y＝0D.x＋y＝0【解析】依题意，MF1＝(－1－x，－y)＝(－1－x)e1－ye2，MF2＝(1－x，－y)＝(1－x)e1－ye2，由|MF1|＝|MF2|，得MF12＝MF22，∴[(－1－x)e1－ye2]2＝[(1－x)e1－ye2]2，∴4x＋4ye1·e2＝0. ∠xOy＝45°，∴e1·e2＝，故2x＋y＝0，即x＋y＝0.【答案】D5.(2013·黄冈期末)如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝()A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．ab【解析】＝,2 AB⊥BC且AD⊥DC，∴.=【答案】B6．(2014·厦门质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心【解析】因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，得PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的高线上，同理可得点P在其他边的高线上，所以点P为△ABC的垂心．【答案】C二、填空题7.(2014·荆州高三质检)已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.【解析】若a⊥(2a＋λb)，则a·(2a＋λb)＝0，即2|a|2＋λ·|a||b|·cos＝0，∴2＋λ×1×4×＝0，∴λ＝1.【答案】18.(2013·安阳模拟)已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A＝60°，AC＝4，则||的最小值为.【解析】 ，∴.设||＝x，则＝16×9－48x＋16x2＝16(x2－3x＋9).3 三角形ABC是锐角三角形，∴0＜x＜8，则当x＝时，取得最小值为16×＝，故||的最小值为＝6.【答案】69.在△ABC中，已知⊥，且2，则△ABC的形状是.【解析】由⊥，得∠BAC的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.由2，得cosA＝，∴A＝60°，故△ABC为等边三角形.【答案】等边三角形10．已知O是锐角△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若AO＝xAB＋yAC，且2x＋10y＝5，则cos∠BAC＝________．【解析】如图所示，则A(0，0)，C(10，0)，B(6cosA，6sinA)，∴O(5，m)，故AO＝xAB＋yAC，即(5，m)＝x(6cosA，6sinA)＋y(10，0)，∴5＝6xcosA＋10y，4而2x＋10y＝5，∴6cosA＝2，即cosA＝.【答案】三、解答题11.设a＝(cosα，(λ－1)sinα)，b＝(cosβ，sinβ)λ>0，0<α<β<是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且tanβ＝，求tanα的值．【解析】(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐标，可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0.因为0<α<，故sin2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)．故λ＝2.(2)由(1)及题设条件，知a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝.因为0<α<β<，所以－<α－β<0.所以sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－.所以tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.所以tanα＝.12.已知向量OA＝(λcosα...