高考数学一轮复习 课后限时集训31 数列求和（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训(三十一)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400B[S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为()A．990B．1000C．1100D．99A[n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()A．120B．99C．11D．121A[an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.]4.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－＋C[因为＝＝＝－，所以＋＋＋…＋＝＝＝－.]5．Sn＝＋＋＋…＋等于()A.B.C.D.B[由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则∑＝________.[由得∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.]7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．2n＋1－n－2[an＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．2n＋1－n－2[因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.]三、解答题9．(2019·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)×2n－1，所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②由①－②得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n＝1＋2×－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.10．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.[解](1)＝(32－1)＝3，当n≥2时，＝－＋＋…＋＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，当n＝1时，＝32n－1也成立，所以an＝.(2)bn＝log3＝－(2n－1)，因为＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝.B组能力提升1．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋B[设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.则原式＝a1＋a2＋…＋a11＝2＋2＋…＋2＝2＝2＝2＝2＝20＋.]2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝()A．22016－1B．3·21008－3C．3·21008－1D．3·21007－2B[a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2015＋a2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝＋＝3·21008－3.故选B.]3．(2019·龙岩模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，对n∈N*都有Sn＝1－an，若bn＝log2an，则＋＋…＋＝________.[对n∈N*都有Sn＝1－an，当n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－an－(1－an－1)，化为an＝an－1.∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为.∴an＝n.∴bn＝log2an＝－n.∴＝＝－.则＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.]4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.[解](1)设{an}的公比为q，由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝.因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.