考点43离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.(2016·四川高考理科·T12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.【解题指南】先找出离散型随机变量的分布列,再求离散型随机变量的均值.【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2,其中P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,在1次试验中成功的概率为P(ξ≥1)=+=,所以在2次试验中成功次数X的概率为P(X=1)=,P(X=2)=,E(X)=1×+2×=.答案:2.(2016·江苏高考T4)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.【解题指南】先求出平均数,然后求方差.【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.答案:0.1二、解答题3.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T19)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列.(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值.(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4.设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04,P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16,P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24,P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.24,P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2,P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08,P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)要令P(X≤n)≥0.5, 0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5,则n的最小值为19.(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040,当n=20时,费用的期望为20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.所以应选用n=19.4.(2016·全国卷Ⅱ理科·T18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率.(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【解题指南】(1)一续保人本年度的保费高于基本保费,就是上年度出险次数不少于2次的情况.(2)要求的是在一续保人本年度的保费高于基本保费的前提下,利用条件概率求解.(3)平均保费就是保费的均值.先利用均值公式求出均值,再求平均保费与基本保费的比值.【解析】(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,P(A)=1-P()=1-(0.30+0.15)=0.55.(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B,P(B|A)=.(3)设本年度所交保费为随机变量X.X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.20...
