高考数学复习点拨 利用导数解答不等式问题VIP免费

利用导数解答不等式问题导数是研究函数的工具，而不等式与函数又有着千丝万缕的联系.因此导数在分析和解决一些不等式问题具有优越性.下面举例说明：一、利用函数单调性证明不等式例1已知abe，其中e为自然对数的底．求证：baab．证明：设ln()()xfxxex，则21ln()xfxx．又xe时，ln1x∴．()0fx∴．()fx∴在()e，∞上单调递减．又abe，()()fafb∴，即lnlnabab．lnlnbaab∴，lnlnbaab∴，即baab．点评：利用导数证明不等式的关键在于构造函数，其基本的思维程序为：证明不等式()()fxgx可等价转化为证明()()()0Fxfxfx．利用()0Fx，则函数()Fx在()ab，上是增函数加以证明．例2证明：321sin(0)xxxxxxR，．证明：构造32()1fxxxx，则2()321fxxx．该二次式的判别式4120，()0fx∴，()fx∴是R上的增函数．0x∵，()(0)1fxf∴，而sin1x≤，321sinxxxx∴．∴x3-x2+x+1>sinx.点评：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用(0)1f架桥铺路，使问题得解.二、利用函数最值解决不等式问题例3已知函数3()6fxxx，若不等式2()23fxmm≤对于所有满足[22]x，恒成立，则实数m的取值范围是．分析：不等式2()23fxmm≤对于所有的[22]x，恒成立，只需223mm大于等于()fx在[22]，上的最大值．解：2()310fxx∵，()fx∴在[22]x，内是增函数．()fx∴在[22]x，上的最大值是(2)4f．2234mm∴≥，解得12m≤或12m≥．用心爱心专心例4已知函数3()3fxxx，证明：对任意12(11)xx，，，不等式12()()4fxfx恒成立．分析：可通过证明maxmin()()4fxfx来证明对任意12(11)xx，，，不等式12()()fxfx恒成立，而()fx的最大、最小值可利用导数求得．证明：()3(1)(1)fxxx．当x变化，()()fxfx，变化情况如下表：x(1)，∞1(11)，1(1)，∞()fx00()fx22得()fx在[11]，内是减函数，()fx在[11]，上的最大值max()(1)2fxf，最小值min()(1)2fxf．所以，对任意的12(11)xx，，，恒有12maxmin()()()()4fxfxfxfx．用心爱心专心