高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与表示练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第五章数列5.1数列的概念与表示练习理[A组·基础达标练]1．[2015·三亚一模]在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的第________项()A．16B．24C．26D．28答案C解析设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C.2．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C．4D．0答案D解析an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选D.3．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，依照下表则a2015等于()x12345f(x)54312A.2B．3C．4D．5答案D解析由题意a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1.则数列{an}的项周期性出现，其周期为4，a2015＝a4×503＋3＝a3＝5.故选D.4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为()A．16B．20C．33D．120答案C解析a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<.由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A.6．[2015·海淀区期末]若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．91答案B解析 a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.由an≥0得n≤7，∴a1，a2，…，a7>0，a8<0，…∴满足条件的n的值为7.7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为()A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3}D．{1,2,4}答案B解析因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故{an}的通项公式为an＝2n－1.由≤2，得2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝________.答案解析 a1＝1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.9．[2016·大连双基]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.答案解析依题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，an＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝.10．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.12．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．解(1)由an＝n2－n－30，得a1＝12－1－30＝－30，a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24.2设an＝60，则60＝n2－n－30.解得n＝10或n＝－9(舍去)．∴60是此数列的第10项．(2)令an＝n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．∴n＝6时，a6＝0.令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．∴当n>6(n∈N*)时，an>0.令n2－n－30<0，n∈N*，解得0