高考数学二轮复习 压轴题增分练1 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

压轴题增分练(一)(时间：30分钟满分：24分)1．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．[规范解答及评分标准](1)设焦距为2c(c>0)．由题意，得e＝＝，2b＝2.∵a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(4分)(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立得方程组消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，知Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0.化简，得m2<4k2＋1.①(6分)若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2.∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，∴(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0.化简，得m2＋k2＝.②(9分)由①②，得0≤m2<，2e.[规范解答及评分标准](1)由题意，得f′(x)＝－(x>0)．当a<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2分)当a>0时，f′(x)＝，∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．(4分)(2)证明：由(1)知，当a>0时，函数f(x)有最小值，且f(x)min＝f()＝1－lna.依题意得1－lna<0，即a>e.(6分)由a＝e2，得f(x)＝－2lnx(x>0)，x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞)．由f(2e)＝2－2ln2>0及f(x2)＝0，得x2<2e，即x2∈(e,2e)．欲证x1＋x2>2e，只要证x1>2e－x2.∵f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)＝0，∴只要证明f(2e－x2)>0即可．(8分)由f(x2)＝－2lnx2＝0，得x＝2e2lnx2.∴f(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝4－＋2lnx2－2ln(2e－x2)，x2∈(e,2e)．(10分)令g(t)＝4－＋2lnt－2ln(2e－t)，t∈(e,2e)，则g′(t)＝－＋＋＝>0，∴g(t)在(e,2e)上单调递增，∴g(t)>g(e)＝0，即f(2e－x2)>0.综上可知，x1＋x2>2e.(12分)