专题10圆锥曲线1．已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是()A.B．2C．6D.【答案】D【解析】由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状()A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆【答案】D【解析】由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，又e2＝1－＝1－＝1－.因此当a∈(2－，1)时，e越来越大，当a∈(1,2＋)时，e越来越小，故选D.3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(2,3]C．(1,3]D．(1,2]4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A.B．1C.D．2【答案】A【解析】设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2. a＋b＝AF＋BF＝2MN，∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤.5．过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A．0B．2C．4D．无数【答案】C【解析】过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．6．椭圆y2＋＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是()A.B．C.D.【答案】B【解析】当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而≥，即1－m2≥，又0＜m＜1，所以0＜m≤.7．设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D.8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】D【解析】椭圆的离心率e＝＝＝，所以a＝2b.所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.9．双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．【答案】【解析】根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.10．已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.11．如图141，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．图141【答案】【解析】因为△ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|－|BF1|＝2a，从而|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，整理得c2＝7a2，则e2＝7，从而e＝.12．设F1，F2是椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2＝________.【答案】13．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．【...
