专题强化练十九不等式选讲1．设函数f(x)＝|2x＋3|－|1－2x|，若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－1|成立，求实数a的取值范围．解：因为f(x)＝|2x＋3|－|1－2x|≤|(2x＋3)＋(1－2x)|＝4.所以f(x)max＝4.若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－1|成立，所以|3a－1|＜4，解得－1＜a＜，故实数a的取值范围是.2．已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a≤0.(1)当a＝0时，求不等式f(x)＜1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＜1化为|2x－1|－|x|－1＜0，当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当0＜x≤时，不等式化为x＞0，解得0＜x≤；当x＞时，不等式化为x＜2，解得＜x＜2；综上，f(x)＜1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)由题设可得f(x)＝所以f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为(1－a，0)，，，该三角形的面积为.由题设＞，且a≤0，解得a＜－1.所以a的取值范围是(－∞，－1)．3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，只需证明＞，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得若ab＞cd，则＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，所以a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.(1)解：f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，所以－1＜x≤－；当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立．当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，所以＜x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1.从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b)2＜0，所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，因此|a＋b|＜|1＋ab|.5．(2018·郑州质检)已知函数f(x)＝＋，a为实数．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞4的解集；(2)求f(a)的最小值．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)＞4，即f(x)＝＞4，①当x＜－1时，得f(x)＝2＞4，无解；②当x∈[－1，0)∪(0，1]时，得f(x)＝＞4，解得|x|＜，得－＜x＜0或0＜x＜；③当x＞1时，得f(x)＝2＞4，无解；综上，不等式f(x)＞4的解集为∪.(2)f(a)＝＝，①当a＜－1或a＞1时，f(a)＝＝2|a|＞2，②当－1≤a≤1且a≠0时，f(a)＝≥2，综上知，f(a)的最小值为2.6．(2018·衡水中学检测)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.(1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)＞＋a的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围．解：(1)依题意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2，当x＜－3时，原不等式可化为2－2x－x－3≥3x＋2，解得x≤－，故x＜－3；当－3≤x≤1时，有2－2x＋x＋3≥3x＋2，解得x≤，故－3≤x≤；当x＞1时，原不等式可化为2x－2＋x＋3≥3x＋2，无解．综上所述，不等式f(x)≥3x＋2的解集为.(2)依题意，|2x－2|＋|x＋3|＞＋a在[2，3]上恒成立，则3x＋1－＞a在[2，3]上恒成立．又因为g(x)＝3x＋1－在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－＞a，解得a＜.故实数a的取值范围为.7．(2018·江南名校联考)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(2x＋5)≥x＋9；(2)若a＞0，b＞0，且＋＝2，证明：f(x＋a)＋f(x－b)≥，并求f(x＋a)＋f(x－b)＝时，a，b的值．(1)解：f(x)＋f(2x＋5)＝|x－1|＋|2x＋4|≥x＋9，当x≤－2时，不等式为4x≤－12⇒x≤－3，所以x∈(－∞，－3]；当－2＜x＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x≥1时，不等式为2x≥6⇒x≥3，所以x∈[3，＋∞)，综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)证明：法一f(x＋a)＋f(x－b)＝|x＋a－1|＋|x－b－1|≥|x＋a－1－(x－b－1)|＝|a＋b|＝a＋b(a＞0，b＞0)．又＋＝2，所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，即f(x＋a)＋f(x－b)≥.当且仅当＝，即b＝2a时“＝”成...
