专题强化练十八坐标系与参数方程1．(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解：由消去t，得l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s)．则点P到直线l的距离d＝＝，所以当s＝时，d有最小值＝.因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.2．(2018·河南安阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，直线l：x＋y＝5，所以直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝5，化简得2ρsin＝5.由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y，即x2＋y2－4y＝0.故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.(2)由题意得ρA＝4sin＝2，ρB＝＝5，所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)由l1：(t为参数)消去t，得l1的普通方程y＝k(x－2)，①同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，联立得所以ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，所以与C的交点M的极径为.4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ≤π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．解：(1)由消去t得xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝8y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.当φ＝0时，|AB|取最小值为8.5．(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点．(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．解：(1)由题意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.联立方程组解得A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1)．(2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin，又－1≤sin≤1，所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8]．6．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的标准方程是＋y2＝1，当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.联立方程解得或则C与l交点坐标为(3，0)，.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cosθ，sinθ)．则P到l距离d＝＝，其中tanφ＝.又点C到直线l距离的最大值为.所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，所以a＝8.若a＜0，则5－4－a＝17，所以a＝－16.综上可知，实数a的值为a＝－16或a＝8.7．(2018·广东肇庆二模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＋＝...
