专题32数列及其综合应用1．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn。4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝an－n(n∈N*)。(1)求证：数列{an＋1}是等比数列。(2)令bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)，对任意n∈N*，是否存在正整数m，使＋＋…＋≥恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。【解析】：(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，解得a1＝2，当n≥2时，由Sn＝an－n得Sn－1＝an－1－n＋1。两式相减得，Sn－Sn－1＝an－an－1－1，即an＝3an－1＋2(n≥2)，则an＋1＝3(an－1＋1)。又a1＋1＝2＋1＝3，故数列{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列。(2)由(1)知an＋1＝3×3n－1＝3n。所以bn＝log3(a1＋1)＋log3(a2＋1)＋…＋log3(an＋1)＝1＋2＋…＋n＝，所以＝＝2，则＋＋…＋＝2＝2由＋＋…＋≥对任意n∈N*恒成立，得2≥，即m≤8对任意n∈N*恒成立，因为1－≥1－＝，所以m≤4。又因为m∈N*，所以m＝1,2,3,4。5.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.6.已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】：(1)设等比数列{an}的公比为q，a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0.因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.(2)由题意得bn＝·3n＝·n，Tn＝·＝.7.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．8.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.【答案】：an＝【解析】：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6.9．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．【解析】：(1)由Sn＝2an－2可得a1＝2.因为Sn＝2an－2，所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即＝2.所以数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝.要使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，即实数≥k对任意n∈N*恒成立．设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值，为－10，所以k≤－10.即实数k的取值范围为(－∞，－10]．11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.12.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－...
