考点34抛物线一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0.①点D在圆x2+y2=r2上,所以5+=r2.②点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2.③联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.2【解题指南】P是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y=.【解析】选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0).又因为PF⊥x轴,所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y=(k>0),即=2,所以k=2.3.(2016·四川高考理科·T8)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM斜率的最大值为()A.B.C.D.1【解题指南】设出点P的坐标,表示出点M坐标,从而表示出直线OM的斜率,进而求出其最大值.【解析】选C.如图,由题可知F,设P点坐标为显然,当y0<0时,kOM<0;y0>0时,kOM>0,要求kOM的最大值,不妨设y0>0.则,当且仅当=2p2时等号成立.4.(2016·四川高考文科·T3)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).二、填空题5.(2016·浙江高考理科·T9)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xM+1=10⇒xM=9.答案:9三、解答题6.(2016·浙江高考文科·T19)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值.(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【解题指南】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解.【解析】(1)由题意知抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,所以p=2.(2)由(1)得抛物线的方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B,又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-,从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线,得,所以m=,所以m<0或m>2,经检验m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
