第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例考纲索引1.仰角和俯角的概念.2.方位角、方向角、坡度的应用.课标要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识梳理1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α,(如图②).3.方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.4.坡度①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).②坡比:坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).基础自测1.(教材改编)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为().1(第1题)2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为().A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°3.(教材改编)一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时().A.5海里B.海里C.10海里D.海里4.(课本精选题)如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为m.(第4题)5.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是海里.指点迷津◆四个步骤(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.◆五角区别要注意区别仰角、俯角、方向角、方位角、坡角(度)的区别,并准确地找出这些角.考点透析考向一测量距离问题2例1(2013·宝鸡联考)如图,为了计算渭河岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离(假设A,B,C,D在同一平面内,测量结果保留整数;参考数据:).【审题视点】在△ABD中,用余弦定理求BD,在△BDC中,用正弦定理求BC.【方法总结】(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.变式训练1.如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.(第1题)考向二测量高度问题例2(2013·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,求电视塔的高度.【审题视点】构造立体图形,分别在Rt△ADB和△BDC中,求AB.3变式训练2.(2013·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)(第2题)考向三测量角度方向问题例3(2013·河北省质监)已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?(参考数据:).【审题视点】根据方向角构造三角形,求解∠ABC的大小来确定方向.4【方法总结】1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义.2.求角的大小,在三角形中先求出其函数值或者证明某些线段的位置关系(平行、垂直)也可确定角度.变式训练3.(2013·苏北四市联考)如图,为了解某海域海底构造,在...
