高考数学一轮总复习 第五章 数列 第二节 等差数列练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第二节等差数列【最新考纲】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为ɑn＋1－ɑn＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列ɑ，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做ɑ，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：ɑn＝ɑ1＋(n－1)d，ɑn＝ɑm＋(n－m)d．(2)前n项和公式：Sn＝nɑ1＋＝．3．等差数列的性质已知数列{ɑn}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm＋ɑn＝ɑp＋ɑq＝2ɑk．(2)ɑm，ɑm＋k，ɑm＋2k，ɑm＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．(4)若数列{ɑn}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)ɑn，S2n＝n(ɑ1＋ɑ2n)＝n(ɑn＋ɑn＋1)．(5)等差数列的通项公式形如ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2.()(3)等差数列{ɑn}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．(2016·郑州一检)等差数列{ɑn}的前n项和为Sn，且S3＝6，ɑ3＝0，则公差d等于()A．－1B．1C．2D．－2解析：依题意得S3＝3ɑ2＝6，即ɑ2＝2，故d＝ɑ3－ɑ2＝－2，选D.答案：D3．在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑ3＋ɑ5＝10，则ɑ7＝()1A．5B．8C．10D．14解析：法一设等差数列的公差为d，则ɑ3＋ɑ5＝2ɑ1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，ɑ7＝ɑ1＋6d＝2＋6＝8.法二由等差数列的性质可得ɑ1＋ɑ7＝ɑ3＋ɑ5＝10，又ɑ1＝2，所以ɑ7＝8.答案：B4．(2015·课标全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11解析：法一 ɑ1＋ɑ5＝2ɑ3，∴ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3ɑ3＝3，∴ɑ3＝1，∴S5＝＝5ɑ3＝5，故选A.法二 ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝ɑ1＋(ɑ1＋2d)＋(ɑ1＋4d)＝3ɑ1＋6d＝3，∴ɑ1＋2d＝1，∴S5＝5ɑ1＋d＝5(ɑ1＋2d)＝5，故选A.答案：A5．(2015·陕西卷)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为ɑ1，则＝1010，故ɑ1＝5.答案：5一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．两个技巧1．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－2d，ɑ－d，ɑ，ɑ＋d，ɑ＋2d，….2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－3d，ɑ－d，ɑ＋d，ɑ＋3d，….两种思想1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求ɑ1和d.2．等差数列{ɑn}中，ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．四种方法等差数列的四种判断方法1．定义法：ɑn＋1－ɑn＝d(d是常数)⇔{ɑn}是等差数列．2．等差中项法：2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2(n∈N*)⇔{ɑn}是等差数列．3．通项公式：ɑn＝pn＋q(p，q为常数)⇔{ɑn}是等差数列．4．前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{ɑn}是等差数列．2一、选择题1．(2016·豫东、豫北十所名校联考(五))已知等差数列{ɑn}中，ɑ5＝13，S5＝35，则公差d＝()A．－2B．－1C．1D．3解析：依题意，得解得答案：D2．(2015·重庆卷)在等差数列{ɑn}中，若ɑ2＝4，ɑ4＝2，则ɑ6＝()A．－1B．0C．1D．6解析： {ɑn}为等差数列，∴2ɑ4＝ɑ2＋ɑ6，∴ɑ6＝2ɑ4－ɑ2，即ɑ6＝2×2－4＝0.答案：B3．(2016·陕西八校联考)在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝0，公差d≠0，若ɑm＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9...