保分题冲关系列(一)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·甘肃河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB.(1)求cosB的值；(2)若BA·BC＝2，且b＝2，求a和c的值．解：(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，则2RsinBcosC＝6RsinAcosB－2RsinCcosB，故sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，可得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，可得sinA＝3sinAcosB.又sinA≠0，因此cosB＝.(2)由BA·BC＝2，可得accosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB，可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c，所以a＝c＝.2．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an＞0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.3.(2015·江西八校联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.(1)求证：直线SC⊥平面AMN；(2)求点N到平面ACM的距离．解：(1)证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC.又∵SA＝AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD.∴AM⊥平面SDC.∴SC⊥AM.由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN.(2)设点N到平面ACM的距离为h，因为VM－ANC＝VD－ANC＝VN－ACD＝×VS－ACD＝2××2×2×2＝，由已知得MA＝，AC＝2，MC＝.则S△AMC＝××＝，VN－ACM＝×h＝，得h＝.∴点N到平面ACM的距离为.4．(2015·陕西咸阳一模)某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．(1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率；(2)求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．解：我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，自然小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，人文小组的三位成员记作R1，R2，R3，则基本事件是(S1，Z1，R1)，(S1，Z1，R2)，(S1，Z1，R3)，(S1，Z2，R1)，(S1，Z2，R2)，(S1，Z2，R3)，(S1，Z3，R1)，(S1，Z3，R2)，(S1，Z3，R3)，然后把这9个基本事件中S1换成S2，S3又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．以S1表示数学组中的甲同学、Z2表示自然小组的乙同学．(1)甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中所含有的基本事件是上述基本事件中不含S1、含有Z2的基本事件，即(S2，Z2，R1)，(S2，Z2，R2)，(S2，Z2，R3)，(S3，Z2，R1)，(S3，Z2，R2)，(S3，Z2，R3)共6个基本事件，故所求的概率为＝.(2)“数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中”的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，这个事件所包含的基本事件是(S1，Z2，R1)，(S1，Z2，R2)，(S1，Z2，R3)，共3个基本事件，这个事件的概率是＝.根据对立事件的概率计算方法，所求的概率是1－＝.
