高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余弦定理的综合问题高效演练分层突破 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第2课时正、余弦定理的综合问题[基础题组练]1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosA＝，则△ABC的面积等于()A．3B.C．9D．解析：选B.因为cosA＝，则sinA＝，所以S△ABC＝×bcsinA＝，故选B.2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝()A．2B.C．2D．2解析：选D.由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶，c＝2cosC＝，则△ABC的周长为()A．3＋3B．2C．3＋2D．3＋解析：选C.因为sinA∶sinB＝1∶，所以b＝a，由余弦定理得cosC＝＝＝，又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cosA，则a＝()A．1B.C.D．解析：选A.因为b＝2，c＝，S＝cosA＝bcsinA＝sinA，所以sinA＝cosA.所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cosA＝.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为()A．10B．12C．8＋D．8＋2解析：选B.因为△ABC的面积为4，所以acsinB＝4.因为2bcosA＋a＝2c，所以由正弦定理得2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又A＋B＋C＝π，所以2sinBcosA＋sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB，所以sinA＝2cosB·sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.6．在△ABC中，A＝，b2sinC＝4sinB，则△ABC的面积为．解析：因为b2sinC＝4sinB，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsinA＝×4×＝2.答案：27．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝，△ABC的面积等于．解析：△ABC中，由正弦定理得sinB＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.答案：28．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，则b的值为．解析：由＝⇒＝⇒a＝c，①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5，②联立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B为锐角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.答案：9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍)．所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA，从而sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA.又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是cosA＝，又A为三角形的内角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsinA≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.[综合题组练]1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A.B.C.D．2解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为．解析：由＝a，得＝sinC．由余弦定理可知cosC＝，即3cosC＝sinC，所以tanC＝，故cosC＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.答案：33．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accosB，且sinA＝3s...