2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A．2B．4C．6D．8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案：C2．根据给出的数塔猜测1234567×9＋8＝()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．11111110B．11111111C．11111112D．11111113解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，∴1234567×9＋8＝11111111.答案：B3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．答案：D4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”()A．定值B．变数C．有时为定值、有时为变数D．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S－ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VS－ABC＝·a2·(h1＋h2＋h3＋h4)＝·a2·a∴h1＋h2＋h3＋h4＝a(此为正四面体的高)．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝ab.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VP－ABC等于__________.1解析：V＝Sc＝abc.答案：abc6．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N*)．8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.☆☆☆(10分)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到2怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．3
