高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 课时达标检测（六十三）坐标系 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时达标检测(六十三)坐标系1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.2．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρ(cosθ－sinθ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，点R的直角坐标为R(2,2)．(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.5．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝kcosθ－ksinθ，即ρ2＝kρcosθ－kρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，即2＋2＝k2，所以圆心C的直角坐标为.直线l的极坐标方程可化为ρsinθ·－ρcosθ·＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，所以－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，所以或解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.6．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．解：(1)∵C1的参数方程为∴C1的普通方程为＋y2＝1.由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acosθ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝.∴ρ＝，ρ＝＝.∴＋＝＋＝.