第3章推理与证明滚动训练二(3.1～3.3)一、填空题1．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数对应的点在复平面中位于第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析e2i＝cos2＋isin2，由于<2<π，因此cos2<0，sin2>0，点(cos2，sin2)在第二象限．2．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案－1－i解析因为＝1＋i，所以z＝＝＝＝－1－i.3．设复数z＝，则z·＝________.考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案2解析 z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.14．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案0解析 z(i＋1)＝，∴z＝＝＝－1，∴z的虚部为0.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.6．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，即5|z|＝5，解得|z|＝.7．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的几何意义答案一解析z2＝＝＝＝－i，z1＝i，则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．28．若ω＝－＋i，则ω＋＝________.答案－1解析ω＋＝－＋i＋＝－＋i－－i＝－1.9．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．答案8解析因为＝＝(25＋15i)＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，所以a＋b＝5＋3＝8.10．适合方程＋＝的实数x，y的值分别为________．答案－1,5解析因为＋＝，所以＋＝，即＋＝，所以(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，所以解得11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2，当且仅当a＝，b＝时取等号．二、解答题12．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).考点复数四则运算的综合运算题点复数的混合运算解(1)＝＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.3(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.13．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．(1)设复数z1＝，求|z1|；(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系解 z＝1＋mi，∴＝1－mi.·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，又 ·(3＋i)为纯虚数，∴解得m＝－3.∴z＝1－3i.(1)z1＝＝－－i，∴|z1|＝＝.(2) z＝1－3i，z2＝＝＝，又 复数z2所对应的点在第四象限，∴解得∴－3
