课时限时检测(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.＝()A.B.C．2D.【答案】C2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.B.C．0D.－1【答案】C3．若sin＝，sin(α－β)＝，则的值为()A．5B.－1C．6D．【答案】A4．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于()A.B.C.D．【答案】A5．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于()A．7B.－7C.D.－【答案】C6．(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D.－【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan＝2，则的值为________．【答案】8．设sin＝，则sin2θ＝______.【答案】－9．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．【解】(1)f＝2sin＝2sin＝.(2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝，f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝.∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.图3－5－111．(12分)如图3－5－1，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为.(1)求的值；(2)若OP⊥OQ，求.【解】(1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.(2)∵OP⊥OQ，∴α－β＝，∴β＝α－.∴sinβ＝sin＝－cosα＝，cosβ＝cos＝sinα＝.∴＝＝＝＝.12．(13分)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.【解】(1)∵f(x)＝sin＋sin＝sin＋sin＝2sin.∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明∵cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－.∴cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.由(1)知f(x)＝2sin，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝4×2－2＝0.
