高考数学二轮复习 专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列专题突破讲义 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第1讲等差数列与等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：Sn＝＝(q≠1)．3．性质若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.例1(1)(2017届江西师大附中、临川一中联考)已知数列，满足bn＝log2an，n∈N*，其中是等差数列，且a9a2009＝4，则b1＋b2＋b3＋…＋b2017等于()A．2016B．2017C．log22017D.答案B解析由题设可得log2a9＋log2a2009＝2，即b9＋b2009＝2，由等差数列的通项的性质，可得b9＋b2009＝b1＋b2017＝2，所以b1＋b2＋b3＋…＋b2017＝＝2017，故选B.(2)(2017届四川省成都市诊断性检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6,a3＋a5＋a7＝78，则a5等于()A．12B．18C．24D．36答案B解析由于a3＋a5＋a7＝a3＋a3q2＋a3q4＝6(q4＋q2＋1)＝78，得q4＋q2－12＝0，得q2＝3或q2＝－4(舍去)，则a5＝a3q2＝6×3＝18，故选B.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1(1)(2017·河北省曲周县第一中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－4，S6＝6，则S5等于()A．0B．－2C．4D．1答案A解析由题设可得⇒则S5＝－4×5＋×2＝0，故选A.(2)(2017届长沙一模)等比数列的公比为－，则ln2－ln2＝________.答案ln2解析ln2－ln2＝ln2＝lnq2＝ln2.热点二等差数列、等比数列的判定与证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．例2(2017届东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.(1)证明：{an－n}为等比数列；(2)数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.(1)证明 an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，又a1－1＝2，∴{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知an－n＝(a1－1)·2n－1＝2n， bn＋1＝bn＋an－n，∴bn＋1－bn＝2n，累加得到bn＝2＋＝2n(n≥2)．当n＝1时，b1＝2，∴bn＝2n，∴cn＝＝＝－.∴Tn＝－.思维升华(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．(2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．跟踪演练2(2017届吉林省长白山市模拟)在数列中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1.(1)设bn＝，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1，∴b1＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝＝n，∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2，得2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn