(一)三角函数与解三角形1．(2017届江苏省南通、扬州、泰州三模)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋f－1＝0，α∈(0，π)，求角α值．解(1)由条件可知，周期T＝2π，即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin.因为f(x)的图象经过点，所以Asin＝，所以A＝1，所以f(x)＝sin.(2)由f(α)＋f＝1，得sin＋sin＝1，即sin－cos＝1，所以2sin＝1，即sinα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝或.2.如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.(1)求cosB的值；(2)求CD的长．解(1)在△ABC中，cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝＝.同理可得sin∠ACB＝.所以cosB＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝×－×＝.(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20.又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得CD＝＝＝9.3．(2017届安徽省合肥市三模)如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A＋sin2C－sin2B＝sinA·sinC.(1)求角B；(2)点D在线段BC上，满足DA＝DC，且a＝11，cos(A－C)＝，求线段DC的长．解(1)由正弦定理及sin2A＋sin2C－sin2B＝sinA·sinC，可得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由条件∠BAD＝∠A－∠C，由cos(A－C)＝，可得sin(A－C)＝，设AD＝x，则CD＝x，BD＝11－x，在△ABD中，由正弦定理得＝，故＝，解得x＝4－5，所以AD＝DC＝4－5.4．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.(1)若x∈，求函数f(x)的最大值和最小值，并写出相应的x的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝，f(C)＝0且sinB＝2sinA，求a，b的值．解(1)f(x)＝sin2x－－＝sin－1.∵x∈，∴2x－∈[，]．∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝0；当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝－－1.(2)∵f(C)＝sin－1＝0，∴sin＝1.∵C∈(0，π)，∴2C－∈，∴2C－＝，即C＝.∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴解得5.(2017·河北省石家庄二中三模)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sinC＋cosC)．(1)求角B的大小；(2)若A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．解(1)在△ABC中，a＝b(sinC＋cosC)．由正弦定理可知，sinA＝sinB(sinC＋cosC)，即sin(B＋C)＝sinB(sinC＋cosC)，所以cosBsinC＝sinBsinC，sinC>0，则cosB＝sinB，即tanB＝1，B∈(0，π)，则B＝.(2)在△BCD中，BD＝2，DC＝1，所以BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD，又A＝，B＝，则△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝×BC××BC＝BC2＝－cosD，又S△BDC＝×BD×DCsinD＝sinD，所以S四边形ABDC＝－cosD＋sinD＝＋sin，当D＝时，四边形ABDC的面积最大，最大值为＋.
