第1节等差数列与等比数列考试要求1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.2.等差数列的通项公式及求和公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d，其前n项和是Sn＝或Sn＝na1＋d.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则ak＋al＝2am.(3)若{an}为等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(4)若等差数列{an}的前n项为Sn，则也是等差数列.4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，等差数列的通项公式是关于n的一次函数；当d＝0时，等差数列的通项公式是常数函数.(2)求和公式：Sn＝n2＋n，当d≠0时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0；当d＝0时，等差数列的前n项和公式为Sn＝na1.5.等比数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.6.等比数列的通项公式及求和公式如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的通项公式是an＝a1·qn－1，其前n项和是Sn，则(1)当q＝1时，Sn＝na1.(2)当q≠1时，Sn＝或Sn＝.7.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则ak·al＝a.(3)若{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公比为qn(当公比q＝－1，n不能取正偶数).[常用结论与易错提醒]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()解析(1)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(2)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A.－1B.0C.1D.6解析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.答案B3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A.8B.9C.10D.11解析由题意得2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C.答案C4.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()A.an＝2n－5B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8nD.Sn＝n2－2n解析设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A.答案A5.(2020·浙江“超级全能生”联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要...
