第七节抛物线课时作业A组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a,0)C.D．解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B．C.D．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.答案：C3．(2017·邯郸质检)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋)＋(x2＋)＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.选C.答案：C4．已知直线l：y＝kx－k与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2FM＝MN，则实数k等于()A．±B．±1C．±D．±2解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点，如图．过M作MM′⊥准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2FM＝MN，得cos∠M′MN＝＝，则tan∠M′MN＝±，∴直线l的斜率k＝±，故选C.答案：C5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．2－1B．2－2C.－1D．－2解析：由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r1＝－1＝－1.选C.答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.答案：7．(2017·云南检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________．解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D(图略)，则|BF|＝|BD|， |BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.答案：y2＝3x9．已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A、B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，联立消去x得y2－4py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝·＝16p，因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x.10．(2017·合肥质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．解析：(1) A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为，半径为＝，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋2＝.(2)记A(x1，)，B(x2，)．则OB＝(x2，)，AB＝(x2－x1，)．由OB·AB＝0知，x2(x2－x1)＋＝0. x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－.∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，当且仅当x＝，...
