第72讲直线和圆的位置关系的判断方法【知识要点】一、设直线圆，圆心到直线的距离.二、判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系①②③方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关系.①方程组有两个不同的实数解直线与圆相交；②方程组有两个相等的实数解直线与圆相切；③方程组没有实数解直线与圆相离.方法三（顶定点分析法）:先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交.【方法讲评】方法一几何法使用情景判断直线和圆的位置关系解题步骤先求直线到圆心的距离，再比较和圆的半径的大小关系，得出结论.【例1】已知圆：与直线：，（1）时，判断直线与圆的位置关系；（2）若直线与圆相切，求实数的值.【点评】（1）利用几何的方法判断直线和圆的位置关系，先求直线到圆心的距离，再比较和圆的半径的大小关系，得出结论.（2）第2小问，本题利用的是代数法，也可以利用几何法解答.【反馈检测1】已知圆：，直线：．（1）当直线与圆相切时，求实数的值；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．方法二代数法使用情景判断直线和圆的位置关系解题步骤先联立直线和圆的方程消去，得到关于的一元二次方程，再求判别式，得出结论.【例2】已知：过点且斜率为的直线与圆相交于两点．求实数的取值范围；【解析】∵直线过点且斜率为，∴直线的方程为.将其代入圆，得，由题意：，得.【点评】本题利用代数的方法解答比较方便，如果利用几何的方法就比较麻烦，因为直线的方程里有参数，不是很好比较和的关系.【反馈检测2】已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点.（1）求实数的取值范围；（2）若，求实数的值.方法三定点分析法使用情景直线中一般含有参数解题步骤先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交.【例3】已知圆，直线求证：对，直线与圆总有两个不同的交点【点评】对于本题，如果利用代数的方法和几何的方法，计算量比较大.但是如果找到直线的定点，就比较容易判断直线和圆的关系.所以当直线中含有参数时，都要注意考虑直线是否过定点.【反馈检测3】已知动直线与圆．（1）求证：无论为何值，直线总过定点，并说明直线与圆总相交；（2）为何值时，直线被圆所截得的弦长最小？请求出该最小值．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第72讲：直线和圆的位置关系的判断方法参考答案【反馈检测1答案】（1）相交；（2）.【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】（1）由消去得，由已知得，得，得实数的取值范围是；（2）因为圆心到直线的距离为，所以由已知得，解得.【反馈检测3答案】（1）证明见解析；（2）时，直线被圆所截得的弦长最小，最小值为．【反馈检测3详细解析】（1）证明：直线变形为．
