第二课时基本不等式的应用习题课1.下列函数中最小值是4的是(C)(A)y=x+(B)y=sinx+(C)y=21+x+21-x(D)y=x2++3,x≠0解析:对于A,当x=-2时,y=-4,不符合题意;对于B,当sinx=-1时,y=-5,不符合题意;对于C,21+x>0,21-x>0,所以y=21+x+21-x≥2=4,当且仅当x=0时取等号;由于x2++3≥4,当且仅当x=0时取等号,故D项不符合题意.故选C.2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(C)(A)1+(B)1+(C)3(D)4解析:f(x)=x+=x-2++2.因为x>2,所以x-2>0.所以f(x)=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时“=”成立.又f(x)在x=a处取最小值.所以a=3.故选C.3.已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y(D)(A)有最大值2(B)等于4(C)有最小值3(D)有最大值4解析:因为x>1,y>1,1所以log2x>0,log2y>0.所以log2x·log2y≤()2=[]2=4,当且仅当x=y=4时取等号.故选D.4.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(D)(A)(-∞,2](B)[2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(-∞,3]解析:由于x>1,所以x-1>0,>0,于是x+=x-1++1≥2+1=3,当=x-1即x=2时等号成立,即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,故选D.5.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是(B)(A)(B)(C)4(D)8解析:因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以xy=×2xy≤()2=,当且仅当2x=y>0,即x=,y=时取等号,此时,xy的最大值是.故选B.6.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:法一因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.2法二因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.7.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(C)(A)(B)2(C)2(D)4解析:法一由已知得+==,且a>0,b>0,所以ab=b+2a≥2,所以ab≥2.法二由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2.故选C.8.若实数x,y满足x2+y2=4,则S=的最小值是(C)(A)-2(B)-(C)2-2(D)2(1+)解析:x2+y2=4(x+y)⇒2-2xy=42xy=(x+y)⇒2-4=(x+y+2)·(x+y-2),于是S===x+y+2,而x2+y2=4(x+y)⇒2-4=2xy≤2·()2-2⇒≤x+y≤2S∈[2-2⇒,2+2],当且仅当x2+y2=4,x=y,即x=y=±时等号成立.验证知x=y=-时,S取得最小值,最小值为2-2.故选C.9.已知x,y>0,且满足x+y=1,则+的最小值为.解析:+=(+)(x+y)=1+4++≥5+2=9.3当且仅当即x=,y=时取等号.答案:910.设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.解析:法一(+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,所以+≤3,当且仅当a+1=b+3,a+b=5,即a=,b=时等号成立,所以+的最大值为3.法二本题也可利用≤进行求解,即≤=,当且仅当=,a+b=5,即a=,b=时等号成立,所以+的最大值为3.答案:311.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以=≤=.4所以要使≤a恒成立,只需a≥.答案:[,+∞)12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=csinA,则的最大值为.解析:由=,a=csinA,得sinC=1,即△ABC是直角三角形,C为直角,于是a2+b2=c2,从而==1+≤1+=2,即≤,当且仅当a=b=c时等号成立.答案:13.(1)求函数y=的最小值;(2)求函数f(x)=2x(5-3x),x∈(0,)的最大值.解:(1)y===+,令t=,则t∈[2,+∞),所以y=t+,t∈[2,+∞).易证y=t+在t∈[2,+∞)上为单调递增函数,所以y≥2+=.故ymin=.(2)因为x∈(0,),所以2x>0,5-3x>0,5f(x)=2x(5-3x)=[]2≤()2=.当且仅当3x=5-3x,即x=∈(0,)时,等号成立,故所求函数的最大值为.14.已知x+y=-1,且x,y都是负数,求xy+的最小值.解:法一因为x,y都是负数,所以-x>0,-y>0.由x+y=-1,得1=(-x)+(-y)≥2=2,则00且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求+的最小值.解:因为函数y=logax的图象恒过定点(1,0),所以函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点(-2,-1),所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以+=(+)(2m+n)=2+1++≥3+2,当且...
