专题8.8抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－12ay(a>0)的通径长为2a.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.【答案】y2＝－x或x2＝y【解析】设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.3.(选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.【答案】2【解析】设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为()A.5B.－3或5C.－2或6D.6【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.2【答案】[－1，1]【解析】设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].【考点聚焦】考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.C.D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.【规律方法...
