高考数学 常考题型 专题04 数列问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题04数列问题1．（2018新课标全国Ⅱ文科）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．2．（2018新课标全国I文科）已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．【解析】（1）由条件可得an+1=．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.3．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=6−．（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【解析】（1）设的公比为．由题设可得解得，．故的通项公式为．（2）由（1）可得．由于，故，，成等差数列．1．等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合进行考查.2．在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n项和等知识，难度中等.指点1：等差数列及其前项和1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.2．等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.【例1】已知等差数列满足，，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）依题意，，即，所以，则，故.因为，所以①，当时，②，①②得，即.当时，满足上式.∴数列的通项公式为.指点2：等比数列及其前项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.【例2】已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q， a2＝6，a3＋a4＝72，∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4．又 an＞0，∴q＞0，∴q＝3，．∴.（2） ，∴.指点3：数列的综合应用1．解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合在一起的，则要把两个数列分开求解.2．数列常与函数、不等式结合起来考查，其中数列与不等式的结合是考查的热点，注意知识之间的灵活运用.【例3】设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，，．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且，求．【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为．（1）因为，，所以，．由，可得①，由，可得②，联立①②，解得（舍去）或，所以，故数列的通项公式为．（2）因为，所以，解得或，又，所以，因为，所以，即，所以．【例4】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．（3）设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因...