压轴提升卷(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)及点D，动直线l：y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C的方程；(2)若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.解：(1)把y＝kx＋1代入x2＝2py得x2－2pkx－2p＝0，设A，B，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.由α＋β＝π可知，直线AD的斜率与直线BD的斜率之和为零，所以＋＝0，去分母整理得(x1＋x2)(x1x2＋p2)＝0，即2pk(p2－2p)＝0，由该式对任意实数k恒成立，可得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)证明：设过点N的垂线方程为x＝t(t≠0)，由得即点P.令＝λ，则N，所以直线ON的方程为y＝x，由且x≠0得即点H，所以＝＝＝λ，所以＝，即|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.2．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(x－k)ex＋k，k∈Z，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)当k＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈(0，＋∞)时，不等式f(x)＋5＞0恒成立，求k的最大值．解：(1)当k＝0时，f(x)＝xex，∴f′(x)＝(x＋1)ex.由f′(x)＝0，得x＝－1，∴当x＞－1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；当x＜－1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1)．(2)由题意知，5＋(x－k)ex＋k＞0对x∈(0，＋∞)恒成立．∵当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，∴不等式x＋＞k对x∈(0，＋∞)恒成立．设h(x)＝x＋，则h′(x)＝.令F(x)＝ex－x－6，则F′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞0，∴函数F(x)＝ex－x－6在(0，＋∞)上单调递增．又F(2)＝e2－8＜0，F(3)＝e3－9＞0，∴F(2)·F(3)＜0.∴存在唯一的x0∈(2，3)，使得F(x0)＝0，即ex0＝x0＋6.∴当x∈(0，x0)时，F(x)＜0，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，F(x)＞0，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增．∴当x＝x0时，函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0)．∵h(x0)＝x0＋＝x0＋1∈(3，4)．又k＜h(x0)，k∈Z，∴k的最大值是3.
