高考数学 专题6.3 数列的综合问题试题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题6.3数列的综合问题【三年高考】1.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，对应满足的最小条件为，故选A.2.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则.所以①当时，取正整数，则当时，，因此.此时，是等差数列.②当时，对任意，此时，是等差数列.③当时，当时，有.所以对任意正数，取正整数，故当时，.3.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.（II）解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.4．【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（）A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列【答案】A【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．5.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为6.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．【解析】（Ⅰ）由题意得，故，，．由，得，即．由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．7.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】D8.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【解析】（1）由题意得，，即，，由，得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.9.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明.【解析】（Ⅰ），曲线在点处的切线斜率为.从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知.当时，.当时，因为，所以.综上可得对任意的，均有.10.【2015高考陕西，理21】设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．【解析】（I），则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时，当时，若，若，所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时,；当时解法二由题设，当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又，令，则，所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而，故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时,,所以.当时,，而，所以，.若...