高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 椭圆的几何性质应用案巩固提升 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.2.2椭圆的几何性质[A基础达标]1．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为()A．＋＝1B．－＝1C．＋＝1D．－＝1解析：选A．由已知，c＝3，又e＝，所以a＝6.所以b2＝a2－c2＝27.又焦点在x轴上，所以椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：选D．因为椭圆长轴在y轴上，所以a2＝m－2，b2＝10－m.所以c2＝a2－b2＝2m－12＝4.所以m＝8.3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为()A．B．C．D．解析：选B．因为焦点在x轴上，所以a＝，b＝，所以c＝＝，e＝＝＝，所以m＝.4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为()A．B．C．D．解析：选C．由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，所以|OP|＝c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，因为e＝，0＜e＜1，所以≤e＜1.5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，有＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·＝，因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以＝.因为右焦点为F(3，0)，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1.6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－)，故c＝，又2b＝4，所以b＝2，a2＝b2＋c2＝25，故所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝17．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝__________．解析：由得交点为(0，1)，，则|AB|＝＝.答案：8．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．已知点P(a，b)，△F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e＝________．解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，由题意得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.把b2＝a2－c2代入，整理得2＋－1＝0，解得＝－1(舍去)或＝.所以e＝＝.答案：9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，所以e＝＝＝，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知所以从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所以＝，所以＝，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以＝.所以e＝＝.[B能力提升]11．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选A．如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以＝.12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0b>0)的长轴长为短轴长的倍，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，OA·OC＝，求椭圆方程．解：根据题意a＝b，C(a，0)，设A(t，t)，则t>0，＋＝1，所以t＝b.所以OA＝，OC＝(a，0)，OA·OC＝ab＝b2＝，所以b＝1，a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.14．(选做题)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则M(c，b)．代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.