圆锥曲线的最值问题VIP免费

例1：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积及此时点P的坐标。动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了△ABP的最大面积。要使△ABP的面积最大，只要点P到直线AB的距离d最大。设点P()y4y2，解：由已知：|AB|=22)24()14(2x-y-4=0直线AB：*解题过程如下：*分析：d=54y2y2528y2y25291y2）（由已知：－2＜y＜4∴dmax=529此时，y=1,x=41d21AB=2152953427∴点的坐标为(，1)41∴Smax=我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距离，从而求出△ABP面积的最大值和点P的坐标。分析：y2-2y+2m=0设直线L与抛物线y2=4x相切，直线AB：2x-y-4=0直线L的方程为：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=21此时，y=1,x=41∴直线L的方程为：2x-y+=021两直线间的距离d=529另解：把（*）代入抛物线的方程得其他过程同上。练习1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。224316略解：圆心到直线L的距离d1=131316所以圆上的点到直线的最短距离为d=d1-r2131316思考：练习1是否还有其他解题方法？问题：直线L的方程改为3x-2y-6=0，其结果又如何？另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0 直线与圆相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±132∴m2=52，代入圆x2+y2=4整理得：三解：用圆的参数方程去解。设点P为圆x2+y2=4上的任意点，则点P（2cosθ,2sinθ）（0≤θ＜2π）点P（2cosθ,2sinθ）到直线L的距离1316)cos(132136sin4cos6d21313161313216dmin21313161313216dmin∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离例2：如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|=10+(|MA|-|MF’|)≤10+|AF’|因此，当|AF’|最大时，|MA|+|MF|是最大值。具体解题过程如下：已知椭圆的右焦点F，且有定点A（1，1），又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标19y25x22分析：则F’的坐标为(－4,0)解：设椭圆的左焦点为F’由椭圆的定义得：|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|连AF’，延长交椭圆于M’则||MA|-|MF’||≤|AF’|当且仅当M,A,F’三点共线时，等号成立。∴|MA|-|MF’|的最大值为|AF’|，这时M与M’重合 |AF’|=1]41[2）（26∴|MF|+|MA|的最大值为2610要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大，问题：本题解题到此结束了吗？最小值为2610已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P的坐标抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。即|PF|=|PN|∴|PM|+|PF|=|PM|+|PN|∴当M、P、N三点共线时距离之和最小。FM练习2：如图，由抛物线的定义：分析：FMPN解：如图所示|P’F|=|P’N’|即：|P’F|+|P’M|=|P’N’|+|P’M|∴|P’M|+|P’N’|≥|PM|+|PN|=|PM|+|PF|又 点P的纵坐标等于点M的纵坐标，即y=2所以，点P的坐标为（2，2）在抛物线y2=2x上任取一点P’(x’,y’),作P’N’⊥准线L，作MN⊥L，MN交抛物线于P（x，y）由抛物线的定义得：当P’和P重合时，即PNL⊥，N、P、M三点共线，FMP’NPN’例3求点到椭圆上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。分析：解：设点Q(x,y)为椭圆上的任意一点，1y4x22则2PQ22)23y(0x）（又因为x2=4-4y2所以2PQ49y3yy4422425y3y327)21y(32（－1≤y≤1）此时，3x21y，所以的最大值为PQ7即此时Q的坐标为：），）、（，（213213），）、（，点的坐标为：（即此时，，，，此时的最大值为）（）（）（，则是椭圆上的任意点，另解：设213213Q21y3x23cos21sin7PQ721sin323sincos4PQ20.2siny2cosx)y,x(Q222...