课时跟踪训练(六十二)不等式选讲[基础巩固]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．[解](1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤.故m的取值范围为.2．(2017·甘肃兰州模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝4时，|x－1|＋|x－a|≥5等价为或或解得x≤0或x≥5.所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.要使f(x)≥4对x∈R恒成立，则需|a－1|≥4.所以a≤－3或a≥5，即实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥5}．3．(2017·东北三省四市高三二模)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.(1)证明：2a＋b＝2；(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．[解](1)因为－a<，所以f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝显然f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝a＋，所以a＋＝1，即2a＋b＝2.(2)因为a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，＝＋＝(2a＋b)＝≥＝.当且仅当a＝b＝时，取得最小值，所以t≤，即实数t的最大值为.4．(2017·湖南五市十校高三联考)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－3|(a<3)．(1)若不等式f(x)≥4的解集为，求a的值；(2)若对∀x∈R，f(x)＋|x－3|≥1，求实数a的取值范围．[解](1)解法一：由已知得f(x)＝当x
3时，2x－a－3≥4，得x≥.已知f(x)≥4的解集为，则显然a＝2.解法二：由已知易得f(x)＝|x－a|＋|x－3|的图象关于直线x＝对称，又f(x)≥4的解集为，则＋＝a＋3，即a＝2.(2)解法一：不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，即|x－a|＋2|x－3|≥1恒成立．当x≤a时，－3x＋a＋5≥0恒成立，得－3a＋a＋5≥0，解得a≤；当a1，a>，即a的取值范围为.[能力提升]6．(2017·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)<2x的解集；(2)若2f(x)＋|x－a|>8对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)由f(x)<2x得|x＋1|<2x，则－2x1，∴不等式f(x)<2x的解集为(1，＋∞)．(2) f(x)＋|x－a|＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝|a＋1|，又2f(x)＋|x－a|>8＝23对任意x∈R恒成立，即f(x)＋|x－a|>3对任意x∈R恒成立，∴|a＋1|>3，解得a<－4或a>2，∴实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．7．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)已知函数f(x)＝|x－2|.(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．[解](1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|.因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2
