专题05不等式1．不等关系(1)用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．(2)不等式的性质①实数的大小顺序与运算性质的关系a>b⇔；；ab，b>c⇒；(单向性)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒；(单向性)可乘性：；(单向性)a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒；(单向性)乘方法则：；(单向性)开方法则：a>b>0⇒(nN，n≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.2．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有三种形式：一般式：；顶点式：；两根式：.(2)三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集(3)一元二次不等式的解法：一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．(4)一元二次不等式恒成立问题①恒成立的充要条件是：且．②恒成立的充要条件是：且．③恒成立的充要条件是：且．④恒成立的充要条件是：且．⑤恒成立的充要条件是：且或且．⑥恒成立的充要条件是：且或且．3．二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取，若不等式相应的直线过，则可在坐标轴上取或.(2)简单的线性规划①解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：型的线性目标函数；型的斜率型目标函数；型的两点间距离型目标函数等.②使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线.③解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.4．利用基本不等式求最值问题(1)基本不等式：，成立的条件：①.②当且仅当时取等号．(2)利用基本不等式求最值问题①如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)②如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)(3)常用的不等式模型：①基本不等式链：若，则，当且仅当时等号成立.②若，则，当且仅当时等号成立.一、不等式的性质与一元二次不等式【例1】设，若1≤≤2,2≤≤4，则的取值范围是________．【答案】【解析】设=m＋n(m、n为待定系数)，则4a2−b=m(a−b)＋n(a＋b)，即4a2−b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得，解得.∴=3＋．又 1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.【名师点睛】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．【例2】已知全集=，集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知，，，∴=，∴，故选D．【名师点睛】一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4a...
