考查角度1直线与圆的方程分类透析一圆的方程及其应用例1已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为().A.(x±❑√33)2+y2=43B.(x±❑√33)2+y2=13C.x2+(y±❑√33)2=43D.x2+(y±❑√33)2=13解析由题意知圆心在y轴上,且被x轴所分的劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心为(0,a),半径为r,则rsinπ3=1,rcosπ3=|a|,解得r=2❑√33,即r2=43,|a|=❑√33,则a=±❑√33,故圆C的方程为x2+(y±❑√33)2=43,选C.答案C方法技巧关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助圆的几何性质求圆心坐标和半径.分类透析二直线与圆的位置关系的判定与应用例2直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系为().A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能解析可将圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=9,∴圆心为(1,-2),半径r=3.又圆心在直线2tx-y-2-2t=0上,∴直线与圆相交,选C.答案C方法技巧判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法进行判定,代数法就是利用方程的根的个数进行判定,几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系.例3已知直线l:y=-❑√3(x-1)与圆O:x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l与y轴交于点A,则△MOA的面积等于.解析依题意可得,直线l:y=-❑√3(x-1)与y轴的交点A的坐标为(0,❑√3).由{x2+y2=1,y=-❑√3(x-1),得点M的横坐标xM=12或xM=1(不合题意).所以△MOA的面积为S=12|OA|·xM=12×❑√3×12=❑√34.答案❑√34方法技巧根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问题,解题时要注意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以借助一些圆的性质进行计算.分类透析三圆的切线和弦长问题例4过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为().A.2❑√3B.4C.2❑√5D.5解析由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦AB的中点时,|AB|的值最小.又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离d=❑√5,所以|AB|=2❑√r2-d2=2❑√9-5=4.答案B方法技巧先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此时最小值为0;若已知点在圆内,则该点为弦AB的中点时,|AB|的值最小,此时的最大值为已知圆的直径.例5已知点M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4,则过点M的圆的切线方程为.解析结合已知条件,得圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,由题意知|k-2+1-3k|❑√k2+1=2,解得k=34,故方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上,过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.答案x=3或3x-4y-5=0方法技巧解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在.1.(2018年全国Ⅲ卷,文6改编)已知圆C:(x-2)2+y2=2和直线x+y+2=0,点P在直线上,则过点P作圆C的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为.解析连接CQ,PC(图略),则|PQ|2=|PC|2-r2(其中r为已知圆C的半径),当|PC|最小时,|PQ|有最小值,即先求点C到直线的距离|PC|的最小值,故此时点C(2,0)到直线x+y+2=0的距离为2❑√2,|PQ|min❑=❑√(2❑√2)2-(❑√2)2=❑√6.答案❑√62.(2016年全国Ⅱ卷,文6改编)圆x2+y2-2ax-8y+13=0的圆心到直线x+y-1=0的距离为❑√2,则a=().A.-1B.-5C.❑√3D.-1或-5解析圆x2+y2-2ax-8y+13=0化为标准方程为(x-a)2+(y-4)2=3+a2,故圆心坐标为(a,4),则圆心到直线x+y-1=0的距离d=|a+4-1|❑√12+12=❑√2,解得a=-1或a=-5,故选D.答案D3.(2016年全国Ⅲ卷,文15改编)已知直线l:x+y-1=0与圆x2+y2=25交于A,B两点(设点A位于第四象限),过A作l的垂线与x轴交于C点,则△ABC的面积为.解析联立方程组{x+y-1=0,x2+y2=25,得{x=-3,y=4或{x=4,y=-3,故点A(4,-3),点B(-3,4),所以直线AC的方程为y=x-7,得C(7,0),所以可得|AB|=7❑√2,|AC|=3❑√2.又因为AB⊥AC,所以S△ABC=12|AB|·|AC|=12×7❑√2×3❑√2=21.答案214.(2018年江苏卷,12改编)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),过点B作直线l的垂线,垂足为A,则以AB为直径的圆的圆心C的横坐标为().A.1B.2C.3D.4解析由题意得直线A...
